Tre punti diversi entrano nella stessa funzione e ne escono identici: (-1/4, 0, 0). La formula occupa una manciata di righe; il problema che fa crollare era aperto dal 1939. A pubblicarla è stato il matematico Levent Alpöge, attribuendo la scoperta a Claude Fable 5, modello di intelligenza artificiale di Anthropic.
La congettura jacobiana aveva resistito per 87 anni a tentativi, presunte dimostrazioni e parecchi conti finiti male. Fable 5 ha trovato un controesempio: una funzione che rispetta le condizioni previste dalla congettura e produce proprio il risultato che, secondo quella stessa congettura, non avrebbe dovuto produrre.
Dire che l’AI ha “risolto” il problema rende l’idea. Il verbo matematicamente più preciso è confutato. Per far cadere una congettura basta infatti un solo caso che la contraddica. Fable 5 lo ha trovato nello spazio a tre dimensioni, rendendo falsa anche la versione nelle dimensioni superiori. Quella con due variabili continua invece a resistere.
Una funzione dalla quale non si può tornare indietro
Una funzione può essere immaginata come una macchina matematica: riceve uno o più numeri, esegue alcune operazioni e restituisce un risultato. Nel caso della congettura jacobiana entrano e vengono restituite intere serie di numeri.
Una funzione è invertibile quando, conoscendo il risultato, possiamo risalire senza dubbi al punto di partenza. Se due ingressi diversi producono la stessa uscita, la strada del ritorno si divide: diventa impossibile sapere quale dei due fosse quello originale.
Fable 5 ne ha trovati addirittura tre:
F(0, 0, -1/4) = F(1, -3/2, 13/2) = F(-1, 3/2, 13/2) = (-1/4, 0, 0).
Tre punti di partenza distinti finiscono quindi nello stesso punto. Questo è sufficiente per stabilire che la funzione non è invertibile. La parte difficile, evidentemente, era trovare proprio quella funzione in mezzo a un numero enorme di possibilità.
Perché la congettura sembrava plausibile
La congettura fu formulata nel 1939 dal matematico tedesco Ott-Heinrich Keller. Riguarda le funzioni polinomiali, quelle costruite usando somme, sottrazioni, moltiplicazioni e potenze intere.
Per studiare come queste funzioni trasformano lo spazio, i matematici usano il determinante della matrice jacobiana. Il nome sembra studiato apposta per allontanare chiunque non abbia una laurea in matematica, ma l’idea di base è più semplice: permette di controllare che, nelle immediate vicinanze di ogni punto, la trasformazione non schiacci insieme posizioni differenti.
Nella funzione trovata da Fable 5 il determinante jacobiano vale sempre -2. La trasformazione funziona quindi bene se ne osserviamo una piccola zona. Guardandola per intero, però, tre punti lontani tra loro vengono spediti nello stesso posto.
Keller aveva ipotizzato che un determinante costante e diverso da zero garantisse il funzionamento dell’inversione su tutta la funzione. Il controesempio mostra che il controllo locale non basta: da vicino ogni tratto sembra in ordine, mentre la mappa completa conduce più strade alla stessa destinazione.
La questione era considerata così importante che nel 1998 il matematico Stephen Smale, vincitore della Medaglia Fields, la inserì tra i grandi problemi matematici proposti per il nuovo secolo.
Il risultato si può verificare, il lavoro dell’AI molto meno
Alpöge ha pubblicato il controesempio su X, permettendo agli altri matematici di controllare sia il valore del determinante sia i tre punti con la stessa uscita. Terence Tao ha poi dedicato al risultato una lunga analisi matematica, ricostruendone anche la struttura geometrica.
I materiali pubblici consentono dunque di verificare la formula. Raccontano molto meno su come sia stata ottenuta. Non sono stati diffusi la conversazione completa con Fable 5, i prompt usati, il tempo richiesto o gli eventuali strumenti di calcolo impiegati durante la ricerca.
L’attribuzione della scoperta al modello arriva da Alpöge ed è stata ripresa nei primi lavori matematici dedicati al controesempio. Senza una documentazione completa del processo, però, non è possibile misurare con precisione quanto abbia fatto autonomamente l’AI e quanto sia dipeso dalla guida del matematico. Il risultato regge; il dietro le quinte rimane chiuso.
Il caso mostra comunque una capacità utile per la ricerca matematica: esplorare molte possibili soluzioni fino a trovare l’oggetto raro che contraddice una regola considerata plausibile. Qui non servivano centinaia di pagine di dimostrazione. Serviva una funzione precisa. È arrivata con tre punti diversi e una sola uscita.
La versione generale della congettura jacobiana è quindi falsa dalla terza dimensione in su. Il caso a due variabili, quello più piccolo e ostinato, resta ancora sulla lavagna.